定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒為0.
(1)求f(1)和f(-1)的值;
(2)試判斷f(x)的奇偶性,并加以證明.
解:(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)
∴f(-1)=0
(2)令y=-1,由f(xy)=f(x)+f(y),得f(-x)=f(x)+f(-1)
又f(-1)=0
∴f(-x)=f(x)
又∵f(x)不恒為0
∴f(x)為偶函數(shù)
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒為0,可對(duì)x、y進(jìn)行賦值,令x=y=1,求出f(1)的值,令x=y=-1,求出f(-1)的值;
(2)根據(jù)f(-1)=0,令令y=-1,可得到f(-x)與f(x)的關(guān)系,根據(jù)奇偶性的定義可進(jìn)行判定.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用,以及函數(shù)奇偶性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.