Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，且A₁A=4．梯形ABCD的面積為6，且AD∥BC，AD=2BC，CD=2．平面A₁DCE與B₁B交于點E．
（1）證明：EC∥A₁D；
（2）求三棱錐C-A₁AB的體積；
（3）求二面角A₁-DC-A的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明BE∥平面AA₁D．BC∥平面AA₁D，通過BE∩BC=B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，利用平面BCE∥平面ADA₁，利用平面與平面平行的性質(zhì)定理證明EC∥A₁D．
（2）求出S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2．然后求出棱錐的體積．
（3）解法一：在△ADC中，作AF⊥CD于F，連接A₁F，證明CD⊥A₁A．推出CD⊥面A₁AF．說明∠A₁FA為二面角A₁-DC-A的平面角，然后求出二面角A₁-DC-A的大小．
解法二：以D為坐標原點，

DA

，

DD1

分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)∠CDA=θ，BC=a，求出平面A₁DC的一個法向量

n

=(x，y，1)，平面ABCD的一個法向量

m

=(0，0，1)，通過向量數(shù)量積求解二面角A₁-DC-A的大小．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）證明：因為BE∥AA₁，AA₁?平面AA₁D，BE?平面AA₁D，所以BE∥平面AA₁D．（1分）
因為BC∥AD，AD?平面AA₁D，BC?平面AA₁D，所以BC∥平面AA₁D．（2分）
又BE∩BC=B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA₁．（3分）
又平面A₁DCE∩平面BCE=EC，平面A₁DCE∩平面A₁AD=A₁D，
所以EC∥A₁D．（4分）
（2）解：因為S_梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，所以S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2．
（6分）
所以VC-A1AB=VA1-ABC=

1

3

A1AS△ABC=

1

3

×4×2=

8

3

．（8分）
（3）解法一：如圖，在△ADC中，作AF⊥CD于F，連接A₁F．（9分）
因為A₁A⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
所以CD⊥A₁A．
又A₁A∩AF=A，所以CD⊥面A₁AF．
又A₁F?面A₁AF，所以CD⊥A₁F．（10分）
所以∠A₁FA為二面角A₁-DC-A的平面角．（11分）
由（2）得S△ACD=

2

3

S梯形ABCD=4，所以AF=

2S△ACD

CD

=4．（12分）
所以tan∠A1FA=

A1A

AF

=1，（13分）
所以∠A1FA=

π

4

，即二面角A₁-DC-A的大小為

π

4

．（14分）
解法二：如圖，以D為坐標原點，

DA

，

DD1

分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標系．（9分）
設(shè)∠CDA=θ，BC=a，則AD=2a．
因為S梯形ABCD=

a+2a

2

•2sinθ=6，所以a=

2

sinθ

．（10分）
所以C（2cosθ，2sinθ，0），A1(

4

sinθ

，0，4)，
所以

DC

=(2cosθ，2sinθ，0)，

DA1

=(

4

sinθ

，0，4)．（11分）
設(shè)平面A₁DC的一個法向量

n

=(x，y，1)，
由

DA1 • n = 4 sinθ x+4=0 DC • n =2xcosθ+2ysinθ=0

，得

x=-sinθ y=cosθ

，所以

n

=(-sinθ，cosθ，1)．（12分）
又平面ABCD的一個法向量

m

=(0，0，1)，（13分）
所以cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2

2

，所以二面角A₁-DC-A的大小為

π

4

．（14分）

點評：本題考查二面角的求法，幾何體的體積，平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．