Question

已知圓F₁：（x+1）²+y²=16，定點(diǎn)F₂（1，0），動圓過點(diǎn)F₂，且與圓F₁相內(nèi)切．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若過原點(diǎn)的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₁的面積為

3

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M的半徑，依據(jù)題意列出關(guān)系MF₁+MF₂=4，可求軌跡C的方程．
（2）根據(jù)橢圓性質(zhì)以及△ABF₁的面積為

3

2

，可以求得A、B的坐標(biāo)，再求直線l的方程．

解答：解：（1）設(shè)圓M的半徑為r．
因?yàn)閳A過點(diǎn)F₂，且與圓F₁相內(nèi)切．
所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以點(diǎn)M的軌跡C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓且設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
其中2a=4，c=1，所以a=2，b=

3

，
所以曲線C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．

（2）因?yàn)橹本�l過橢圓的中心，由橢圓的對稱性可知，S△ABF1=2S△aoF1，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">S△ABF1=

3

2

，所以S△AOF1=

3

4

．
不妨設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）在x軸上方，則S△AOF1=

1

2

•OF1•y1=

3

4

．
所以y1=

3

2

，x1=±

3

，即：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

3

，

3

2

)或(-

3

，

3

2

)．
所以直線l的斜率為±

1

2

，故所求直線方和程為x±2y=0．

點(diǎn)評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，橢圓的定義，是中檔題．