Question

半徑為R的球的內接正四棱柱的側面積的最大值是（　�。�

• A、8

  2

  R²
• B、8R²
• C、4

  2

  R²
• D、4R²

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：設底面正方形的邊長為2x，棱柱高為2y，則棱柱側面積S=16xy．根據(jù)

(2x)2+(2x)2+(2y)2

=2R．化簡得2x²+y²=R²，進而結合基本不等式可得S的最值．

解答：解：設底面正方形的邊長為2x，棱柱高為2y，則棱柱側面積S=16xy．
∵正四棱柱為半徑為R的球的內接正四棱柱，
∴

(2x)2+(2x)2+(2y)2

=2R．
即2x²+y²=R²，
由基本不等式得：2x2+y2≥2

2

xy，
即xy≤

2x2+y2

2 2

=

R2

2 2

，
∴S=16xy≤4

2

R²，
即內接正四棱柱的側面積的最大值是4

2

R²，
故選：C

點評：本題考查的知識點是球的內接多面體，基本不等式，由基本不等式得到xy≤

R2

2 2

，是解答的關鍵．