Question

已知函數(shù)f（x）=-

3

sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)α∈（0，π），若f(

α

2

)=

1

4

-

3

2

，求sinα的值．

Answer 1

分析：通過二倍角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)公式以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（Ⅰ）利用周期公式求解即可．
（Ⅱ）通過f(

α

2

)=

1

4

-

3

2

，求出sin(α+

π

3

)=

1

4

，利用兩角和的正弦函數(shù)直接求出sinα的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=-

3

(

1-cos2x

2

)+

1

2

sin2x=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin(2x+

π

3

)-

3

2

…（3分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(

α

2

)=sin(α+

π

3

)-

3

2

=

1

4

-

3

2

，
∴sin(α+

π

3

)=

1

4

，又α∈（0，π），sin(α+

π

3

)=

1

4

＜

1

2

∴α+

π

3

∈(

5π

6

，π)…（7分）
∴cos(α+

π

3

)=-

15

4

…（8分）
∴sinα=sin(α+

π

3

-

π

3

)=sin(α+

π

3

)cos

π

3

-cos(α+

π

3

)sin

π

3

=

1+3 5

8

…（10分）

點(diǎn)評：本題考查三角恒等變換，兩角和與差的三角函數(shù)二倍角公式的應(yīng)用，考查計算能力，中等題．