Question

已知函數(shù)f(x)=x2+

k

x

（x≠0，常數(shù)k∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x） 的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）若k=8，證明：當(dāng)a＞3 時，關(guān)于x 的方程f（x）=f（a） 有三個實數(shù)解．

Answer 1

分析：（1）由已知易判斷出函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，進(jìn)行判斷得到結(jié)論；
（2）先由f（x）=f（a） 得，x2+

8

x

=a2+

8

a

，化簡整理得，(x-a)(x+a-

8

ax

)=0由x-a=0 得，方程的一個解x₁=a；由x+a-

8

ax

=0 得，ax²+a²x-8=0，①解①得 有兩個解，從而得出故原方程有三個實數(shù)解．

解答：解：（1）當(dāng)k=0 時，f（x） 是偶函數(shù)；
當(dāng)k≠0 時，f（x） 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． 
證明：①當(dāng)k=0 時，f（x）=x² （x≠0 ），
∴f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
∴f（x） 是偶函數(shù)；         
②當(dāng)k≠0 時，f（-1）=1-k，f（1）=1+k，
∴f（-1）+f（1）=1-k+1+k=2≠0，
∴f（-1）≠-f（1）；                 
又f（-1）-f（1）=1-k-1-k=-2k≠0，
∴f（-1）≠f（1）．                   
∴f（x） 
既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）由f（x）=f（a） 得，x2+

8

x

=a2+

8

a

，
化簡整理得，(x-a)(x+a-

8

ax

)=0，
由x-a=0 得，方程的一個解x₁=a；          
由x+a-

8

ax

=0 得，ax²+a²x-8=0，①
∵a＞3 
，∴△=a⁴+32a＞0，
解①得  x2=

-a2- a4+32a

2a

，x3=

-a2+ a4+32a

2a

，
∵x₂＜0，x₃＞0，∴x₂＜x₃，
又x₁＞0，∴x₁＞x₂．                                
若x₁=x₃，即a=

-a2+ a4+32a

2a

，
則3a2=

a4+32a

，
∴a⁴=4a，解得a=0 或a=

3	4

，與a＞3 矛盾，∴x₁≠x₃ 
故原方程有三個實數(shù)解．

點評：本小題主要考查根的存在性及根的個數(shù)判斷、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．