Question

若函數(shù)y=f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少有三個不同的數(shù)成等差數(shù)列，則稱函數(shù)f（x）是“等差源函數(shù)”，則下列四個函數(shù)中，“等差源函數(shù)”的個數(shù)是（　　）
①y=2x+1；
②y=log₂x；
③y=2^x+1；
④y=sin（

π

4

x+

π

4

）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：利用新定義，進行驗證即可得出結(jié)論．

解答：解：①y=2x+1，n∈N^*，是等差源函數(shù)；
②∵log₂1，log₂2，log₂4構(gòu)成等差數(shù)列，∴y=log₂x是等差源函數(shù)；
③y=2^x+1不是等差源函數(shù)，因為若是，則2（2^p+1）=（2^m+1）+（2ⁿ+1），則2^p+1=2^m+2ⁿ，
∴2^p+1-n=2^m-n+1，左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，故y=2^x+1不是等差源函數(shù)；
④y=sin（

π

4

x+

π

4

）是周期函數(shù)，顯然是等差源函數(shù)．
故選：C．

點評：本題考查等差源函數(shù)的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意反證法的合理運用．