Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b-a（a，b∈R）．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞），求實數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)a=2，若不等式f（x）＞b²-3b對任意實數(shù)x都成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)b=3，解關(guān)于x的不等式組

f(x)＞0 x＞1

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，利用方程的根建立二次一次方程組，求得a和b的值．
（2）把不等式整理成x²+2x-2＞b²-4b確定等號左邊的最小值，進而確定等號右邊的范圍求得b的范圍．
（3）對判別式△大于0和小于0進行分類討論，通過解不等式求得解集．

解答： 解：（1）因為不等式f（x）=x²+ax+b-a＞0的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞），
所以由題意得-1，3為函數(shù)x²+ax+b-a=0的兩個根，
所以

(-1)2+(-1)a+b-a=0 32+3a+b-a=0

，解得a=-2，b=-5．
（2）當(dāng)a=2時，x²+2x+b-2＞b²-3b恒成立，即x²+2x-2＞b²-4b恒成立．
因為x²+2x-2=（x+1）²-3≥-3，所以b²-4b＜-3，
解之得1＜b＜3，所以實數(shù)b的取值范圍為1＜b＜3．
（3）當(dāng)b=3時，f（x）=x²+ax+3-a，f（x）的圖象的對稱軸為x=-

a

2

．
（�。┊�(dāng)△＜0，即-6＜a＜2時，由

f(x)＞0 x＞1

，得x＞1，
（ⅱ）當(dāng)△=0，即a=2或-6時
①當(dāng)a=2時，由

f(x)＞0 x＞1

，得

x2+2x+1＞0 x＞1

，所以x＞1，
②當(dāng)a=-6時，由

f(x)＞0 x＞1

，得

x2-6x+9＞0 x＞1

，所以1＜x＜3或x＞3，
（ⅲ）當(dāng)△＞0，即a＜-6或a＞2時，方程f（x）=0的兩個根為x1=

-a- a2+4a-12

2

，x2=

-a+ a2+4a-12

2

，
①當(dāng)a＜-6時，由

f(1)＞0 - a 2 ＞3

知1＜x₁＜x₂，所以

f(x)＞0 x＞1

的解為1＜x＜x₁或x＞x₂，
②當(dāng)a＞2時，由

f(1)＞0 - a 2 ＜-1

知x₁＜x₂＜1，所以

f(x)＞0 x＞1

的解為x＞1，
綜上所述，
當(dāng)a≤-6時，不等式組的解集為(1，

-a- a2+4a-12

2

)∪(

-a+ a2+4a-12

2

，+∞)，
當(dāng)a＞-6時，不等式組的解集為（1，+∞）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式問題，分類討論思想的運用．綜合性較強．