在△ABC中，a、b、c分別在各角的對邊．
（1）證明：關于x的方程x2+（ccosB）x-a=0有兩個不相等的實根；
（2）若上述方程的兩根之和等于兩根之積，證明：△ABC為直角三角形．
考點：余弦定理,正弦定理
專題：解三角形
分析：（1）由題意易證△=c2cos2B+4a＞0，故方程有兩個不相等的實根；
（2）由韋達定理可得ccosB=a，再由正弦定理可得sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，可得cosB=0，B=
π
2
，可得結論．
解答： 證明：（1）∵a、b、c分別在各角的對邊，
∴△=（ccosB）2-4×1×（-a）=c2cos2B+4a＞0，
∴關于x的方程x2+（ccosB）x-a=0有兩個不相等的實根；
（2）∵方程x2+（ccosB）x-a=0的兩根之和等于兩根之積，
∴-ccosB=-a，即ccosB=a，
由正弦定理可得sinCcosB=sinA，
∴sinCcosB=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴cosBsinC=0，
∵A、B、C為三角形的內(nèi)角，∴sinC＞0
∴cosB=0，B=
π
2

∴△ABC為直角三角形．
點評：本題考查解三角形，涉及韋達定理和正余弦定理，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知15+
13
與15-
13
的小數(shù)部分分別是a，b，求ab-3a+4b-5的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，AE⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD，點M在BC上，
（1）若AM⊥BD，求證AM⊥BC；
（2）若點M是BC中點，且AB=AC=AE=CD=BD=3，BC=3
2
，求四棱錐B-AMDE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示：矩形ABCD和矩形ABEF中，AF=AD，AM=DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．求證：當F、A、D不共線時，線段MN總平行于平面FAD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
OA
=（-1，2），
OB
=（8，m），若
OA
⊥
AB
，則m=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

袋里裝有7個球，每個球上分別標有從1到7的一個號碼，這些球以等可能性（假定不受重量的影響）從袋里取出．已知號碼n的球重
n2
3
-
7
3
n+8克，
（Ⅰ）如果任意取出一球，求其重量大于號碼數(shù)的事件A的概率；
（Ⅱ）如果同時任意取出兩球，求它們重量相同的事件B的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sin α=
2
3
，α∈(
π
2
，π)，cosβ=-
3
4
，β∈(π，
3π
2
) 求：
（1）cos（α-β）的值；
（2）sin（2α-
π
4
）；
（3）tan（β+
π
3
）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-（a-1）x+alnx，其中常數(shù)a∈R．
（Ⅰ）當a=6時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（Ⅲ）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2）），使得在點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當a=1時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
x2
2
-x+
1
2
+alnx在[2，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是
 
．

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