Question

奇函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx的圖象E過點(diǎn)A(-

2

，

2

)，B(2

2

，10

2

)兩點(diǎn)．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若方程f（x）+m=0有三個(gè)不同的實(shí)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，由f（x）是奇函數(shù)和A、B兩點(diǎn)在圖象上列出三個(gè)方程，解出a、b、c
（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)方法求單調(diào)區(qū)間
（3）將方程f（x）+m=0有三個(gè)不同的實(shí)根轉(zhuǎn)化為兩圖象y=f（x）和y=-m有三個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合解決

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+ax為奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x），（x∈R），∴b=0
∴f（x）=ax³+cx
∵圖象過點(diǎn)A(-

2

，

2

)、B(2

2

，10

2

)
∴

-2 2 a- 2 c= 2 16 2 a+2 2 c=10 2

即

-2a-c=1 8a+c=5

，∴a=1，c=-3
∴f（x）=x³-3x（5分）
（2）∵f（x）=x³-3x，∴f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）
∴-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞），減區(qū)間是（-1，1）（10分）
（3）∵f（-1）=2，f（1）=-2
為使方程f（x）+m=0即f（x）=-m有三個(gè)不等根，則-2＜-m＜2，即-2＜m＜2
∴m的取值范圍是（-2，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及數(shù)形結(jié)合能力的運(yùn)用，對提高學(xué)生思維能力有一定的作用