Question

9．如圖所示，在三棱錐D-ABC中，AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，平面ACD⊥平面ABC．
（1）求證：AB⊥BD；
（2）求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CD⊥AC，AB⊥DC，從而AB⊥平面BCD，由此能證明AB⊥BD．
（2）由V_C-ABD=V_D-ABC，能求出點C到平面ABD的距離．

解答 證明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，∠ABC=90°
∴$AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵AC²+CD²=AD²，∴CD⊥AC，
又平面DAC⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC，∴AB⊥DC，
又AB⊥BC，BC∩DC=C，
∴AB⊥平面BCD，
又BD?平面BCD，∴AB⊥BD．
解：（2）∵V_C-ABD=V_D-ABC，
設(shè)點C到平面ABD的距離為h，
∴$\frac{1}{3}h•{S}_{△ABD}=\frac{1}{3}CD•{S}_{△ABC}$，
∵${S}_{△ABD}=2\sqrt{2}$，S_△ABC=2，
解得h=$\sqrt{2}$，
∴點C到平面ABD的距離為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．