Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+3，x∈[-4，6]
（1）當a=-2時，求f（x）的最值．
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)函數(shù)．
（3）當a=1時，求f（|x|）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）a=-2時，表示出f（x），判斷f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得最值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征，使圖象的對稱軸在區(qū)間[-4，6]的外邊即可；
（3）作出f（|x|）的圖象，根據(jù)圖象即可求得單調(diào)區(qū)間；

解答：解：（1）當a=-2時，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
f（x）在[-4，2]上遞減，在[2，6]上遞增，
所以f（x）_min=f（2）=-1，
又f（-4）=35，f（6）=15，
所以f（x）_max=f（-4）=35．
（2）f（x）圖象的對稱軸為x=-a，開口向上，
f（x）的減區(qū)間是（-∞，-a]，增區(qū)間是[-a，+∞），
要使f（x）在[-4，6]上是單調(diào)函數(shù)，
則有-a≥6，或-a≤-4，解得a≤-6，或a≥4，
所以實數(shù)a的取值范圍是[4，+∞）∪（-∞，-6]．
（3）當a=1時，f（x）=x²+2x+3，f（|x|）=x²+2|x|+3，
作出f（|x|）的圖象，如圖所示：
由圖象得f（x）的減區(qū)間為[-4，0]，增區(qū)間為[0，6]．

點評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、二次函數(shù)的單調(diào)性，解決該類問題的關(guān)鍵是深刻理解“三個二次”間的關(guān)系，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．