Question

已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x²-10x的一個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅰ）求a;

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?i>f′(x)＝

所以f′(3)=

因?yàn)?i>a=16.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，

f (x)＝16ln(1+x)+x²-10x,x∈(-1,+∞)，

f′(x)＝

當(dāng)x∈（-1，1）∪(3,+∞)時(shí)，f′(x)＞0.

當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f′(x)＜0.

所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞），

f(x)的單調(diào)減區(qū)間是（1，3），

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在（-1，1）內(nèi)單調(diào)增加，在（1，3）內(nèi)單調(diào)減少，在（3，+∞）上單調(diào)增加，且當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，f′(x)＝0，

所以f (x)的極大值為f (1)＝16ln2-9，極小值為f（3）＝32ln2-21.

因?yàn)?i>f（16）＞16²-10×16>16ln2-9＝f（1）.

f（e^-2-1）＜-32+11＝-21＜f（3），

所以在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間（-1，1），（1，3），（3，+∞）直線y＝b與y=f(x)的圖像各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（3）＜b＜f(1).

因此，b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）.