Question

已知中心的坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F₁
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l”交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則為定值，且定值是”．命題中涉及了這么幾個(gè)要素：給定的圓錐曲線E，過(guò)該圓錐曲線焦點(diǎn)F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸的交點(diǎn)M，AB的長(zhǎng)度與F、M兩點(diǎn)間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）．

Answer 1

【答案】分析：（法一）（I）由題意可設(shè)雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0），由一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（2，0）可得C的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（-2，0），由雙曲線的定義可求2a，由c=2，結(jié)合b²=c²-a²可求b，從而可求雙曲線方程
（II）關(guān)于拋物線C的類似命題為：過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F₁（1，0）作與x軸不垂直的任意直線L交雙曲線于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則為定值，定值是2
證明：由于直線與x軸不垂直，可設(shè)直線L的方程為y=k（x-1），聯(lián)立方程可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=，可求線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，及AB的垂直平分線MP的方程，及M，從而可求MF₁，而=，代入可求AB，即可
（III）過(guò)圓錐曲線E的焦點(diǎn)F作與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸不垂直的任意直線L交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則為定值，定值是（其中e 是圓錐曲線E的離心率）
（法二）（I）由題意可設(shè)雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）
由已知可得，解方程可求a，b，進(jìn)而可求方程
（ II）（III）同法一
解答：解：（I）由題意可設(shè)雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）
∵點(diǎn)，且點(diǎn)Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F₁
∴雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（2，0）可得C的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（-2，0）（1分）
由2a=||QF₁|-|QF₂||=||=（3分）
∴a=，又c=2，所以b²=c²-a²=1（4分）
雙曲線的方程為
（II）關(guān)于拋物線C的類似命題為：過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F₁（1，0）作與x軸不垂直的任意直線L交拋物線于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則為定值，定值是2（6分）
證明如下：由于直線與x軸不垂直，可設(shè)直線L的方程為y=k（x-1）（k≠0）
聯(lián)立方程可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由題意L與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，則k²≠0，△＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=
∴線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)（8分）
AB的垂直平分線MP的方程為
令y=0可得，即M（），F(xiàn)₁（1，0）
∴|MF₁|=（9分）
∵=
==
∴=2（10分）
（III）過(guò)圓錐曲線E的焦點(diǎn)F作與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸不垂直的任意直線L交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則為定值，定值是（其中e 是圓錐曲線E的離心率）（13分）
（法二）由題意可設(shè)雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）（1分）
由已知可得（3分）
解可得，
∴雙曲線的方程為（4分）
（II ），（III）同法一
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及弦長(zhǎng)公式的求解，解答本題還要求考試具備一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力