Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

）（x∈R）有下列命題：
①把函數(shù)f（x）的圖象沿水平方向右平移

π

12

個(gè)單位，可得到函數(shù)y=cos2x的圖象；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，0）對(duì)稱；
③把函數(shù)f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

，得到函數(shù)y=sin（x+

π

6

）的圖象；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

5π

12

對(duì)稱．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡(jiǎn)易邏輯

分析：通過函數(shù)的圖象的平移判斷①的正誤；利用函數(shù)的對(duì)稱性判斷②的正誤；函數(shù)的圖象的變換判斷③的正誤；函數(shù)的圖象的對(duì)稱性判斷④的正誤；

解答： 解：對(duì)于①，把函數(shù)f（x）的圖象沿水平方向右平移

π

12

個(gè)單位，可得到f（x）=sin（2x-

π

6

+

π

3

）=sin（2x+

π

6

）的圖象，所以推出函數(shù)y=cos2x的圖象不正確；故①不正確．
對(duì)于②，因?yàn)閒（

π

6

）=2sin（2×

π

6

+

π

3

）≠0，∴（

π

6

，0）不是y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，故②不正確；
對(duì)于③，把函數(shù)f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

，得到函數(shù)y=sin（x+

π

3

）的圖象；不是得到函數(shù)y=sin（x+

π

6

）的圖象，故③不正確．
對(duì)于④，當(dāng)x=-

5π

12

時(shí)，f（-

5π

12

）=2sin（-2×

5π

12

+

π

3

）=-2sin（-

π

2

）=2，為y=f（x）的最大值，故x=-

5π

12

是y=f（x）的一條對(duì)稱軸，故④正確．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查三角恒等變換及正弦函數(shù)的對(duì)稱軸與三角函數(shù)的圖象變換，屬于中檔題．