Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= +m為奇函數(shù)，m為常數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）= +m為奇函數(shù)，

∴f（0）=1+m=0．

解得：m=﹣1，

當(dāng)m=﹣1時(shí)，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，

故m=﹣1

（2）解：由（1）得，f（x）= ﹣1在R上為減函數(shù)，理由如下；

證法一：設(shè)x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣1﹣ +1= ，

∵ ， ＞0， ，

故f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2）

∴故f（x）= ﹣1在R上為減函數(shù)；

證法二：∵f（x）= ﹣1

∴f′（x）=﹣ ＜0恒成立，

故f（x）= ﹣1在R上為減函數(shù)

（3）解：若關(guān)于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，

即關(guān)于x的不等式f（f（x））+f（﹣a）＜0有解，

即關(guān)于x的不等式f（f（x））＜﹣f（﹣a）=f（a）有解，

即關(guān)于x的不等式f（x）＞a有解，

當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）→1，

故a＜1

【解析】（1）由函數(shù)f（x）= +m為奇函數(shù)，f（0）=0，可得實(shí)數(shù)m的值；（2）f（x）= ﹣1在R上為減函數(shù)，證法一：設(shè)x1＜x2 ， 作差判斷出f（x1）＞f（x2），可得：故f（x）= ﹣1在R上為減函數(shù)；證法二：求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）=﹣ ＜0恒成立，可得：f（x）= ﹣1在R上為減函數(shù)；（3）若關(guān)于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，即關(guān)于x的不等式f（x）＞a有解，求出函數(shù)值的上界，可得答案．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．