【題目】(2015·四川）已知函數(shù)f(x)=2x ， g(x)=x2+ax（其中aR）.對于不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 設(shè)m=，n=.
現(xiàn)有如下命題：
（1）對于任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 都有m>0；
（2）對于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， ，都有n>0；
（3）對于任意的a ， 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 使得m=n；
（4）對于任意的a ， 存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2 ， 使得m=-n.
其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）.

【答案】(1)(4)
【解析】設(shè)A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), C(x1, g(x1)), D(x2, g(x2)), 對(1), 從y=2x的圖像可看出， m=KAB>0,恒成立， 故正確。對（2), 直線CD的斜率可為負(fù)， 即n<0， 故不正確。對（3），由m=n得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)， 即f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax. 則h'(x)=2xln2-2x-a. 由 h'(x)=0得， 2xln2=2x+a， 做出y=2xln2, y=2x+a的圖像可知， 方程2xln2=2x+a不一定有解， 所以h(x)不一定有極值點(diǎn)， 即對任意的a，不一定存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即不一定存在不相等得實(shí)數(shù)x1, x2使得m=n，故不正確。
對（4），由m=-n得f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 即f(x1)+g(x1)=f(x2))+g(x2)， 令h(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax. 則h'(x)=2xln2+2x+a.
h'(x)=0得， 2xln2=-2x-a， 做出y=2xln2, y=-2x-a的圖像可知， 方程2xln2=-2x-a一定有解， 所以h(x)一定有極值點(diǎn)， 即對任意的a，一定存在不相等的實(shí)數(shù)x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即一定存在不相等得實(shí)數(shù)x1, x2使得m=n，故不正確。
四川高考數(shù)學(xué)15題歷來是一個異彩紛呈的題，個中精彩讀者可從解析中慢慢體會.解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想，通過轉(zhuǎn)化使問題得以解決.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= 與g（x）=a2lnx+b有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，則實(shí)數(shù)b的最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像時，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

0

0

1

0

0

0

0

0

(1)請寫出上表的及函數(shù)的解析式；

(2)將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求的解析式及的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)在(2)的條件下，若在上恰有奇數(shù)個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)與零點(diǎn)個數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·新課標(biāo)I卷）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1: x=-2，圓C2:(x-1)2+(y+2)2=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求C1, C2的極坐標(biāo)方程.
（2）若直線C3的極坐標(biāo)方程為，設(shè)C2, C3的交點(diǎn)為M,N，求△C2MN的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C1:x2=4y 的焦點(diǎn)F也是橢圓c2:的一個焦點(diǎn)， C1和C2的公共弦長為
（1）求 C2的方程；
（2）過點(diǎn)F 的直線 l與 C1相交于A與B兩點(diǎn)， 與C2相交于C ， D兩點(diǎn)，且與 同向
（�。┤� 求直線l的斜率；
（ⅱ）設(shè) C1在點(diǎn) A處的切線與 x軸的交點(diǎn)為M ，證明：直線l 繞點(diǎn) F旋轉(zhuǎn)時， MFD總是鈍角三角形。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·四川）如圖，橢圓E：的離心率是，點(diǎn)P（0,1）在短軸CD上， 且.

（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ ， 使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·四川）某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)。
（1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率.
（2）某場比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·陜西）如圖，橢圓E:(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1)，且離心率為.

（1）求橢圓E的方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點(diǎn)P,Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2015·湖北）一種作圖工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

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