Question

13．若函數(shù)f（x）=lg（ax-1）-lg（x-1）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是$\frac{1}{2}$＜a＜!．

Answer 1

分析 先根據(jù)符合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法得出a＜1，然后根據(jù)函數(shù)的定義域再確定a 的取值范圍即可

解答 解：有題意可得：f（x）=lg$\frac{ax-1}{x-1}$，
∵y=lgx在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，且函數(shù)f（x）=lg（ax-1）-lg（x-1）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=$\frac{ax-1}{x-1}=a+\frac{a-1}{x-1}$在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴a-1＜0，∴a＜1，
當0＜a＜1時，函數(shù)的定義域為（$\frac{1}{a}，+∞$），
∴$\frac{1}{a}＜2$，∴a＞$\frac{1}{2}$，
當a≤0時，定義域為∅，
∴$\frac{1}{2}$＜a＜!，
故答案為：$\frac{1}{2}$＜a＜!

點評 本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)定義域的判斷，屬于中檔題．