(理) 已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)在x=1處取得極值.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)+2x=x2+b在數(shù)學公式上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍.

解:(1)f′(x)=1-,
∵函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)在x=1處取得極值
∴f′(1)=0,∴a=0
(2)由(1)知f(x)=x-lnx,∴f(x)+2x=x2+b
∴x-lnx+2x=x2+b,∴x2-3x+lnx+b=0
設g(x)=x2-3x+lnx+b(x>0),則g′(x)=
當x變化時,g′(x),g(x)的變化情況如下表
x (0, ,1) 1 (1,2) 2
g′(x)+ 0- 0+
g(x) 極大值 極小值 b-2+ln2
∴當x=1時,g(x)最小值=g(1)=b-2,g()=b--ln2,g(2)=b-2+ln2
∵方程f(x)+2x=x2+b在[,2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根
,∴,∴+ln2≤b≤2
分析:(1)先求出函數(shù)的導函數(shù),然后根據(jù)在某點取極值的意義可知f′(1)=0,解之即可;
(2)由(1)知f(x)=x-lnx,故x2-3x+lnx+b=0,設g(x)=x2-3x+lnx+b(x>0),研究當x變化時,g(x),g(x)的變化情況,確定函數(shù)的最值,從而可建立不等式,即可求得結(jié)論.
點評:本題主要考查函數(shù)的極值以及根的存在性及根的個數(shù)判斷,同時考查了利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式,是一道綜合題,有一定的難度
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(理)已知函數(shù)f(x)=αx3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)為奇函數(shù),且在f′(x)min=-1(x∈R),
lim
x→0
f(3+x)-f(3)
x
=8

(1)求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)m(x)=nx2-2x的圖象有三個不同的交點,且都在y軸的右方,求實數(shù)n的取值范圍;
(3)若g(x)與f(x)的表達式相同,是否存在區(qū)間[a,b],使得函數(shù)g(x)的定義域和值域都是[a,b],若存在,求出滿足條件的一個區(qū)間[a,b];若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(理)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π2
)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的對稱軸方程與單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(理)已知函數(shù)f(x)=sinx+ln(1+x).
(I)求證:
1
n
<f(
1
n
)<
2
n
(n∈N+);
(II)如果對任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(理) 已知函數(shù)f(x)=x3+x,關(guān)于x的不等式f(mx-2)+f(x)<0在區(qū)間[1,2]上有解,則實數(shù)m的取值范圍為
m<1
m<1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2007•閔行區(qū)一模)(理)已知函數(shù)f(x)=ax的圖象過點P(1,3),解不等式f(-log3x)<3-log3(3-x)

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