Question

由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度y與時(shí)間x的關(guān)系，可近似地表示為y=

- 16 x+2 -x+8    0≤x≤2 4-x                  2＜x≤4

．只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí)，才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長？
（2）當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，此后，每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用分段函數(shù)解析式，分別列出不等式，解之，即可求得x的范圍，從而可得能夠維持有效抑制作用的時(shí)間；
（2）確定函數(shù)y=-

16

x+2

-x+8在[0，2]上單調(diào)遞增，當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=4-x單調(diào)遞減，進(jìn)而可得函數(shù)，利用基本不等式，即可求得最值

解答：解：（1）由題意，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，-

16

x+2

-x+8≥1，∴x²-5x+2≤0，∴

5- 17

2

≤x≤

5+ 17

2

，
∵0≤x≤2，∴

5- 17

2

≤x≤2
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，4-x≥1，∴x≤3，∵2＜x≤4，∴2＜x≤3
綜上，得

5- 17

2

≤x≤3，
即若1個(gè)單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間為3-

5- 17

2

=

1+ 17

2

；
（2）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y=-

16

x+2

-x+8，y′=

16

(x+2)2

-1＞0，∴函數(shù)y=-

16

x+2

-x+8在[0，2]上單調(diào)遞增，
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=4-x單調(diào)遞減，所以當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，
即2＜x≤4時(shí)，y=4-x+[-

16

(x-2)+2

-(x-2)+8]=14-（2x+

16

x

），
故當(dāng)且僅當(dāng)2x=

16

x

，即x=2

2

時(shí)，y有最大值14-8

2

．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)，考查解不等式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．