Question

已知函數(shù)，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上的最大值是-1，求a的值．

Answer 1

解：（1）由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
由求導(dǎo)公式可得：=
當(dāng)，f′（x）=＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，令＞0，可解得x＜，即f（x）在（0，）單調(diào)遞增，
同理由＜0，可解得x＞，即f（x）在（，+∞）單調(diào)遞減．
（2）由（1）可知：若a≥0時(shí)，f（x）在（0，1]單調(diào)遞增，
故函數(shù)在x=1處取到最大值f（1）==-1，解得a=-2，與a≥0矛盾應(yīng)舍去；
若0＜≤1，即a≤-1，函數(shù)f（x）在（0，）單調(diào)遞增，在（，+∞）單調(diào)遞減．
故若＞1，即-1＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，1]單調(diào)遞增，
故函數(shù)在x=1處取到最大值f（1）==-1，解得a=-2，應(yīng)舍去．
綜上可得所求a的值為：-e
分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，分a≥0和a＜0進(jìn)行討論根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論求得f（x）在（0，1]上的最大值，令其為1，可得a的值．
點(diǎn)評：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的分類討論是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．