Question

已知正三棱柱內(nèi)接于一個半徑為2的球，則正三棱柱的側(cè)面積取得最大值時，其底面邊長為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：如圖所示，設球心為O點，上下底面的中心分別為O₁，O₂．設正三棱柱的底面邊長與高分別為x，h．可得O₂A=

3

3

x．在Rt△OAO₂中，利用勾股定理可得(

h

2

)2+(

3

3

x)2=22，可得h2=16-

4

3

x2．由于S_側(cè)=3xh，可得

S

2 側(cè)

=9x²h²=12x²（12-x²）≤12(

x2+12-x2

2

)2即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設球心為O點，上下底面的中心分別為O₁，O₂．
設正三棱柱的底面邊長與高分別為x，h．
則O₂A=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x，
在Rt△OAO₂中，(

h

2

)2+(

3

3

x)2=22，
化為h2=16-

4

3

x2．
∵S_側(cè)=3xh，
∴

S

2 側(cè)

=9x²h²=9x2(16-

4

3

x2)=12x²（12-x²）≤12(

x2+12-x2

2

)2=432．
當且僅當x=

6

時取等號．
故答案為：

6

．

點評：本題考查了正三棱柱的性質(zhì)、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．