Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分別為AB、SB的中點．
（Ⅰ）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐N-BCM的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明SO⊥BO，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，利用向量數(shù)量積公式，可得結(jié)論；
（II）求出平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結(jié)論；
（III）求出N到平面ABC的距離，即可求三棱錐N-BCM的體積．
解答：（Ⅰ）證明：取AC中點O，連結(jié)OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥面ABC，
∴SO⊥BO．
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
則A，C（-2，0，0），，．
∴，
∵，
∴AC⊥SB．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，
設(shè)為平面CMN的一個法向量，則，，所以可取為平面ABC的一個法向量，
∴，
∴二面角N-CM-B的余弦值為．     （9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，∴N到平面ABC的距離為，
而△CBM的面積為，
∴三棱錐N-BCM的體積為．       （12分）
點評：本題考查面面角，考查三棱錐體積的計算，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．