Question

若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=

an

3an+1

．
（1）設b_n=

1

an

，問：{b_n}是否為等差數(shù)列？若是，請說明理由并求出通項b_n；
（2）設c_n=a_na_n+1，求{c_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n+1=

an

3an+1

，b_n=

1

an

，代入可得b_n+1-b_n=

1

an+1

-

1

an

=3，即可得出結論；
（2）確定{c_n}的通項，利用裂項法，求出{c_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

an

3an+1

，b_n=

1

an

，
∴b_n+1-b_n=

1

an+1

-

1

an

=3
∴{b_n}是公差為3的等差數(shù)列，
又b₁=

1

a1

=

1

2

，
∴b_n=3n-

5

2

（2）∵b_n=

1

an

，∴a_n=

2

6n-5

由a_n+1=

an

3an+1

，得：3a_n+1a_n+a_n+1=a_n
∴a_na_n+1=

1

3

（a_n-a_n+1），
∴c_n=

1

3

（a_n-a_n+1）
∴{C_n}的前n項和為S_n=

1

3

[（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-a_n+1）=

1

3

（a₁-a_n+1）
=

1

3

（2-

2

6n+1

）=

4n

6n+1

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項法求和，確定數(shù)列的通項是關鍵．