Question

一質點P由原點出發(fā)作如下運動：先向第一象限任意方向運動，運動距離為r，再沿向量（1，1）方向運動，運動距離為m，（其中0≤r≤2，0≤m≤2，r+m=2），則質點P所有可能達到的位置形成的區(qū)域面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，可證出P所有可能達到的位置形成的區(qū)域為如圖所示的扇形OAC內部，且在四邊形OABC的外部．由此結合扇形面積和三角形面積公式，即可得到所求的區(qū)域的面積．
解答： 解：如圖所示，扇形OAC是圓心角為直角、半徑為2的扇形，
所求區(qū)域在扇形OAC內部，且在△OAB、△OBC外部．
其中A（2，0），B（，），C（0，2）
證明如下
在四邊形OACB內任取一點P，假設有到達P的路線OQP，
則OQ=r，QP=m且r+m=2
將線段QP兩個方向延長，分別交OA、AB于D、E兩點，
注意到△FEA∽△COA是等腰三角形，
∴OA=OD+DA=OD+DE＞OD+DQ+QP＞OQ+QP=r+m
因為OA=2且r+m=2，得到2＞2  矛盾．
由此可得：四邊形OABC是P點不能到達的區(qū)域．
 因此，質點P所有可能達到的位置形成的區(qū)域面積為
S=（π×2²）-2×[×2×2×sin45°]=π-2
故答案為：π-2
點評：本題給出滿足條件的質點P運動，求質點P所有可能達到的位置形成的區(qū)域面積．著重考查了不等式的應用、扇形面積公式和三角形面積公式等知識，屬于中檔題．