Question

4．設(shè)（x²+4x+3）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（n∈N₊）
（1）求a₁+a₂+…+a_2n；
（2）設(shè)f（n）=a₁，g（n）=n（n+1）•2ⁿ，試比較f（n）與g（n）的大小，并證明你的結(jié)論．．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，求a₁+a₂+…+a_2n；
（2））含有a₁的項為${C}_{n}^{1}（4x）^{1}（{x}^{2}+3）^{n-1}$，a₁=4×${C}_{n}^{1}{3}^{n-1}$=4n×3^n-1，設(shè)h（n）=$\frac{f（n）}{g（n）}$=$\frac{n+1}{2}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，與1比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a_2n=8ⁿ，令x=0，可得a₀=3ⁿ，
∴a₁+a₂+…+a_2n=8ⁿ-3ⁿ；
（2）含有a₁的項為${C}_{n}^{1}（4x）^{1}（{x}^{2}+3）^{n-1}$，∴a₁=4×${C}_{n}^{1}{3}^{n-1}$=4n×3^n-1，
設(shè)h（n）=$\frac{f（n）}{g（n）}$=$\frac{n+1}{2}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
n=1，2時，h（n）=1，f（n）=g（n）；
n≥3時，h（n）＜1，f（n）＜g（n）．

點評 本題考查二項式中系數(shù)和問題，考查二項式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．