Question

4．雙曲線與橢圓4x²+y²=64有公共焦點(diǎn)，它們的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 先把橢圓方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，進(jìn)而求得雙曲線離心率，設(shè)出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)建立方程組，求得a和b，則雙曲線方程可得．

解答 解：橢圓方程整理得$\frac{{y}^{2}}{64}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$，
焦點(diǎn)為（0，4$\sqrt{3}$）（0，-4$\sqrt{3}$），離心率e=$\frac{4\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴雙曲線離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}+^{2}=48}\end{array}\right.$，解得a=6，b=2$\sqrt{3}$，
故雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．雙曲線與橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學(xué)生對(duì)雙曲線和橢圓基本知識(shí)的掌握．