Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知(a7-1)3+2012(a7-1)=1，(a2006-1)3+2012(a2006-1)=-1，則S₂₀₁₂=

2012

．

Answer 1

分析：設(shè)f（x）=x³+2012x，則f（x）在R上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)，由條件可得 f（a₇-1）=1，f（a₂₀₀₆-1）=-1，由此推出a₇+a₂₀₀₆=2．再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)f（x）=x³+2012x，則f（x）在R上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)，由條件可得 f（a₇-1）=1，f（a₂₀₀₆-1）=-1．
∴f（a₇-1）+f（a₂₀₀₆-1）=0，f（a₇-1）＞f（a₂₀₀₆-1），
∴a₇-1+a₂₀₀₆-1=0，∴a₇-1＞a₂₀₀₆-1且 a₇+a₂₀₀₆=2．
∴S₂₀₁₂ =

2002×(a 1+ a 2012)

2

=

2002×(a 7+ a 2006)

2

=2012，
故答案為 2012．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．