Question

求證：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)一條線(xiàn)段的中點(diǎn)，那么這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等．

已知：線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為O，O∈平面a．

求證：A、B兩點(diǎn)到平面a的距離相等．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)線(xiàn)段在平面a上時(shí)，A、B兩點(diǎn)顯然到平面a的距離相等且為0． (2)當(dāng)線(xiàn)段AB不在平面a上時(shí)，作AA1⊥a，BB1⊥a，A1和B1為垂足，則AA1、BB1分別是A、B到平面a的距離，且AA1∥BB1，AA1、BB1確定平面b，b∩a=A1B1． ∵O∈AB，ABb，∴O∈b，又O∈a．∴O∈A1B1． ∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O． ∵∠AOA1=∠BOB1，AO=BO， ∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O．∴AA1=BB1，即線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)到平面a的距離相等． 點(diǎn)評(píng)：該題中，證明A1、O、B1三點(diǎn)共線(xiàn)是關(guān)鍵，離開(kāi)這一點(diǎn)，就無(wú)法證明三角形全等．另外，第(1)步有些同學(xué)往往漏掉，使證明失掉嚴(yán)謹(jǐn)性．