Question

已知y=f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=e處的切線方程；
（2）設實數(shù)a＞0，求函數(shù)在[a，2a]上的最大值．
（3）證明對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求在點（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）欲求函數(shù)在[a，2a]上的最大值，只須利用導數(shù)研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值即可．
（3）原問題等價于證明，下面只要證明左邊函數(shù)的最小值比右邊函數(shù)的最大值還大即可，由（2）可得左邊函數(shù)的最小值，利用導數(shù)求出右邊函數(shù)的最大值，最后比較這兩個值的大小即得．
解答：解：（1）∵f（x）定義域為（0，+∞）f'（x）=lnx+1
∵f（e）=e又∵k=f^/（e）=2
∴函數(shù)y=f（x）的在x=e處的切線方程為：y=2（x-e）+e，即y=2x-e
（2）令F′（x）=0得
當，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減，
當，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調遞增．
∴F（x）在[a，2a]上的最大值F_max（x）=max{F（a），F(xiàn)（2a）}
∵
∴當時，F(xiàn)（a）-F（2a）≥0，F(xiàn)_max（x）=F（a）=lna
當時，F(xiàn)（a）-F（2a）＜0，F(xiàn)_min（x）=F（2a）=2ln2a
（3）問題等價于證明，
由（2）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，當且僅當時取得．
設，則，
易得，
當且僅當x=1時取到，從而對一切x∈（0，+∞），
都有成立．
點評：本小題主要考查函數(shù)恒成立問題、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎知識，考查運算求解能力和分類討論思想．屬于中檔題．