【題目】已知a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),f(x)=2a·b.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)若g(x)=f(x),x∈,畫出函數(shù)y=g(x)的圖象,討論y=g(x)-m(m∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1)最小正周期T=π,最大值為;(2)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得f(x)=2sin2x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=,從而可得周期和最值;
(2)由五點(diǎn)作圖法列表,描點(diǎn)即可作圖,函數(shù)y=g(x)-m(m∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得點(diǎn).
試題解析:
(1)∵f(x)=2a·b=2sin2x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=sin+1,
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=π,最大值為f(x)max=+1.
(2)g(x)=f(x),x∈,利用“五點(diǎn)法”列表為:
x | - | - | - |
| ||
2x- | - | -π | - | 0 | ||
sin | 0 | -1 | 0 | 1 | ||
y=sin+1 | 2 | 1 | 1- | 1 | 1+ | 2 |
描點(diǎn)作圖如下.
函數(shù)y=g(x)-m(m∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
由圖可知,當(dāng)m<1-或m>1+時(shí),無(wú)零點(diǎn);
當(dāng)m=1-或m=1+時(shí),有1個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)1-<m<2或2<m<1+時(shí),有2個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)m=2時(shí),有3個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性;
設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)是, ,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E:的右焦點(diǎn)為,離心率為,過(guò)作與x軸垂直的直線與橢圓交于P,Q點(diǎn),若|PQ|=.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過(guò)的直線l的斜率存在且不為0,直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓過(guò)橢圓左焦點(diǎn),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法:
①分類變量與的隨機(jī)變量越大,說(shuō)明“與有關(guān)系”的可信度越大.
②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程,設(shè),將其變換后得到線性方程,則的值分別是和0.3.
③根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中, ,
則.正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),其中且,是否存在整數(shù)使得不等式
恒成立?若存在,求整數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù): )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分別為線段AB,BC的中點(diǎn).
(1)線段AP上一點(diǎn)M,滿足,求證:EM∥平面PDF;
(2)若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A-PD-F的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著支付寶、微信等支付方式的上線,越來(lái)越多的商業(yè)場(chǎng)景可以實(shí)現(xiàn)手機(jī)支付.為了解各年齡層的人使用手機(jī)支付的情況,隨機(jī)調(diào)查50次商業(yè)行為,并把調(diào)查結(jié)果制成下表:
年齡(歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
手機(jī)支付 | 4 | 6 | 10 | 6 | 2 | 0 |
(1)若從年齡在 [55,65)的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查,記選中的2人中使用手機(jī)支付的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)把年齡在[15,45)稱為中青年,年齡在[45,75)稱為中老年,請(qǐng)根據(jù)上表完2×2列聯(lián)表,是否有以上的把握判斷使用手機(jī)支付與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián)?
手機(jī)支付 | 未使用手機(jī)支付 | 總計(jì) | |
中青年 | |||
中老年 | |||
總計(jì) |
可能用到的公式:
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), , .
(1)若,且存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn), ,過(guò)線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交, 于點(diǎn), ,證明: 在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行.
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