Question

已知函數(shù)f(x)=lg

1-x

1+x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)性（單調(diào)性不需證明）．

Answer 1

分析：（1）令對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，解分式不等式求出x的范圍寫(xiě)出區(qū)間形式即為定義域；將真數(shù)分離常數(shù)，利用反比例函數(shù)的值域求出函數(shù)f（x）的值域．
（2）利用函數(shù)的奇偶性的定義，先求出函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再檢驗(yàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系，判斷出函數(shù)的奇偶性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減判斷出函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）由題意得 

1-x

1+x

＞0解得-1＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}
∵

1-x

1+x

=

-x-1+2

1+x

=

2

1+x

-1
又-1＜x＜1
∴0＜x+1＜2，

2

1+x

＞1，

2

1+x

-1＞0，
∴lg(

2

1+x

-1)∈R
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽
（2）對(duì)?x∈{x|-1＜x＜1}都有
f(-x)=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f(x)
∴f（x）為奇函數(shù)
∵令t=

1-x

1+x

=

-x-1+2

1+x

=

2

1+x

-1在（-1，1）遞減
∵y=lgt在定義域上為增函數(shù)
∴f(x)=lg

1-x

1+x

在（-1，1）遞減

點(diǎn)評(píng)：解決判斷函數(shù)的奇偶性：應(yīng)該先求出函數(shù)的定義域，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性利用其法則：同增異減進(jìn)行判斷．