Question

2．已知f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），其導函數f'（x）的部分圖象如圖所示，則下列對f（x）的說法正確的是（　　）

• A． 最大值為4且關于直線$x=-\frac{π}{2}$對稱
• B． 最大值為4且在$[{-\frac{π}{2}\;\;，\;\;\frac{π}{2}}]$上單調遞增
• C． 最大值為2且關于點$（{-\frac{π}{2}\;\;，\;\;0}）$中心對稱
• D． 最大值為2且在$[{-\frac{π}{2}\;\;，\;\;\frac{3π}{2}}]$上單調遞減

Answer 1

分析 根據函數的圖象與性質，求出A、T、ω與φ的值，寫出函數f（x）的解析式；再判斷選項B正確．

解答 解：f（x）=Asin（ωx+φ），
∴其導函數f'（x）=Aωcos（ωx+φ），
由題意可知Aω=2，
T=4（$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{2}$）=4π，
∴ω=$\frac{1}{2}$，A=4；
又當x=$\frac{π}{2}$時f′（x）=0，
∴2cos（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ）=0，
∴cos（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
∴$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
又φ∈（0，π），
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=4sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）；
∴函數f（x）的最大值是4，
且x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴函數f（x）是單調增函數．
故選：B．

點評 本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，也考查了導函數的應用問題，是綜合性題目．