Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，側(cè)棱長為，點D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存點D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，若存在，請確定點D的位置，若不存在，請說明理由；
（3）請指出點D的位置，使二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小為2，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁B交AB₁于E點，由A₁D=DC₁，結(jié)合三角形中位線定理可得DE∥BC₁，進而根據(jù)線面平行的判定定理得到直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）過點D作DN⊥AB₁于N，過D作DM⊥A₁B₁于M，由線面垂直的判定定理及同一法，可得M、N應重合于B₁點，由點D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60，故不存在這樣的點D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．
（3）連接MN，過A₁作A₁F⊥AB₁于F．由（2）的結(jié)合可得∠MND為二面角A₁-AB₁-D平面角，設，由二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小為2，我們易構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，即可指出點D的位置．
解答：解：（1）證明：連接A₁B交AB₁于E點，
在平行四邊形ABB₁A₁中，有A₁E=BE，又A₁D=DC₁…（2分）
∴DE為△A₁BC₁的中位線，從而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直線BC₁∥平面AB₁D…（4分）
（2）假設存在點D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，
過點D作DN⊥AB₁于N，則DN⊥平面ABB₁A₁，
又過D作DM⊥A₁B₁于M，則DM⊥平面ABB₁A₁，…（6分）
而過平面外一點有且僅有一條直線與已知平面垂直，故M、N應重合于B₁點，此時應有DB₁⊥A₁B₁，故∠A₁B₁D=90°，…（7分）
又點D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60，
顯然矛盾，故不存在這樣的點D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．…（9分）
（3）連接MN，過A₁作A₁F⊥AB₁于F．
由（2）中的作法可知：∠MND為二面角A₁-AB₁-D平面角，…（10分）
設，則，
則可得，，，…（12分）
∴．∴
即點D在棱A₁C₁上，且時，
二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小為2．  …（14分）
點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合體，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得DE∥BC₁，（2）的關(guān)鍵是使用反證法和同一法等間接手法進行證明，（3）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于λ的方程．