Question

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n次和S_n，已知S₁=2，a₆₇₀=2009，2（a+b）S_n=（a_n+a）（a_n+b），n∈N₊，b＞

3

2

＞a．
（1）求a和b的值；
（2）bn=

an+1

3•2n

，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先看n=1時，根據(jù)2（a+b）S₁=（a₁+a）（a₁+b），求得a₁=a或a₁=b，同時b＞

3

2

＞a．進而求得b；看n≥2時把2（a+b）S_n=（a_n+a）（a_n+b）和2（a+b）•S_n-1=（a_n-1+a）（a_n-1+b）相減整理可得a_n=a_n-1+（a+b）判斷出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，進而可求得通項公式，根據(jù)a₆₇₀=2009求得a．
（2）把（1）中的a_n代入bn=

an+1

3•2n

中求得b_n，進而用錯位相減法求得T_n．

解答：解：（1）n=1時，2（a+b）•a₁=（a₁+a）（a₁+b）
∴a₁=a或a₁=b
∵a₁=2，b＞

3

2

＞a，
∴b=2，
n≥2時，2（a+b）•S_n-1=（a_n-1+a）（a_n-1+b）則有a_n²-a_n-1²=（a+b）（a_n+a_n-1），（n≥2）
∵a_n＞0∴a_n=a_n-1+（a+b）（n≥2）
∴a_n=2+（n-1）（2+a）
∵a₆₇₀=2009
∴a=1
（2）由（1）a_n=2+3（n-1）=3n-1
∴b_n=

n

2n

∵T_n=1•(

1

2

)+2(

1

2

)2+3•(

1

2

)3++(n-1)•(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n
∴

1

2

Tn=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3++(n-1)•(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1
∴

1

2

Tn=

1

2

+（

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
∴Tn=2-

2+n

2n

點評：本題主要考查了數(shù)列的求和．對于由等比和等差數(shù)列構成的數(shù)列，�？捎缅e位相減法法求和．