Question

已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（-1，0）、N（1，0）距離的比為

2

，
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有

|PM|

|PN|

=

2

，代入兩點(diǎn)間的距離公式后整理得答案；
（2）由點(diǎn)N到PM的距離為1，結(jié)合|MN|=2可得∠PMN=30°，從而求得直線PM的斜率，寫(xiě)出直線PM的方程．聯(lián)立直線方程和圓的方程求得P的坐標(biāo)，然后由直線方程的兩點(diǎn)式求得直線PN的方程．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有

|PM|

|PN|

=

2

，
即

(x+1)2+y2

=

2

(x-1)2+y2

．
整理得x²+y²-6x+1=0；
（2）∵點(diǎn)N到PM的距離為1，|MN|=2，
∴∠PMN=30°，直線PM的斜率為±

3

3

，
直線PM的方程為y=±

3

3

(x+1)．
聯(lián)立

y=- 3 3 (x+1) x2+y2-6x+1=0

，整理得x²-4x+1=0．
解得x=2±

3

．
代入y=-

3

3

(x+1)，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+

3

，-1-

3

)或(2-

3

，1-

3

)；
聯(lián)立

y= 3 3 (x+1) x2+y2-6x+1=0

，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+

3

，1+

3

)或(2-

3

，-1+

3

)．
∴直線PN的方程為y=x-1或y=-x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線和圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了由直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程，是中檔題．