Question

設(shè)g(x)=px-

q

x

-2f(x)，其中f（x）=lnx，且g（e）=qe-

p

e

-2．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求p與q的關(guān)系；
（Ⅱ）若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（Ⅲ）證明：
①f（x）≤x-1（x＞-1）；
②

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N，n≥2）．

Answer 1

分析：對(duì)于（Ⅰ）求p與q的關(guān)系；因?yàn)橛梢阎�可以很容易求出函�?shù)g（x）的表達(dá)式，在把x=e代入函數(shù)得關(guān)系式pe-

q

e

-2=qe-

q

e

-2，化簡(jiǎn)即可得到答案．
對(duì)于（Ⅱ）若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；因?yàn)橐阎猤（x）的函數(shù)表達(dá)式，可以直接求解導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，或者恒小于等于0的時(shí)候，即單調(diào)．故可分類討論當(dāng)p=0，p＞0，p＜0時(shí)滿足函數(shù)單調(diào)的p的值，求它們的并集即可得到答案．
對(duì)于（Ⅲ）證明：①f（1+x）≤x（x＞-1），可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性直接證明．
②

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N，n≥2）．因?yàn)橛散僦猯nx≤x-1，又x＞0，所以有

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

，令x=n²，
得到不等式

lnn2

n2

≤1-

1

n2

．．代入原不等式化簡(jiǎn)求解即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意g(x)=px-

q

x

-2lnx，
又g（e）=pe-

q

e

-2，∴pe-

q

e

-2=qe-

q

e

-2，
∴(p-q)e+(p-q)

1

e

=0，∴(p-q)(e+

1

e

)=0，
而e+

1

e

≠0，∴p=q
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g(x)=px-

p

x

-2lnx，g′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，
令h（x）=px²-2x+p．要使g（x）在（0，+∞）為單調(diào)函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）滿足：
h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①p=0時(shí)，h（x）=-2x，∵x＞0，∴h（x）＜0，∴g'（x）=-

2x

x2

＜0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴p=0適合題意．
②當(dāng)p＞0時(shí)，h（x）=px²-2x+p圖象為開(kāi)口向上拋物線，
稱軸為x=

1

p

∈（0，+∞）．∴h（x）_min=p-

1

p

．只需p-

1

p

≥0，即p≥1時(shí)h（x）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴p≥1適合題意．
③當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px²-2x+p圖象為開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱軸為x=

1

p

∉（0，+∞），
只需h（0）≤0，即p≤0時(shí)h（0）≤（0，+∞）恒成立．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴p＜0適合題意．
綜上①②③可得，p≥1或p≤0．
（Ⅲ）證明：①即證：lnx-x+1≤0（x＞0），
設(shè)k（x）=lnx-x+1，則k'（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，k′（x）＞0，∴k（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，k′（x）＜0，∴k（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
∴x=1為k（x）的極大值點(diǎn)，∴k（x）≤k（1）=0．即lnx-x+1≤0，
所以lnx≤x-1得證．
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，
∴

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

∵n∈N^*，n≥2時(shí)，令x=n²，
得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

．
∴

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)，
∴

ln2

22

+

ln3

32

++

lnn

22

≤

1

2

(1-

1

22

+1-

1

32

++1-

1

n2

)
=

1

2

[(n-1)]-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)]＜

1

2

[(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)]
=

1

2

[n-1-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

[n-1-(

1

2

-

1

n+1

)]=

2n2-n-1

4(n+1)

所以得證．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的概念及由函數(shù)單調(diào)性證明不等式的問(wèn)題，題目共有三問(wèn)，涵蓋知識(shí)點(diǎn)多，計(jì)算量大，對(duì)學(xué)生靈活性要求較高，屬于難題．