Question

已知f(x)=

1

3

x3+bx2+(b+2)x+3在R上是單調(diào)增函數(shù)，則b的取值范圍是（　　）

A．b≤-1或b≥2

B．b＜-1或b＞2

C．-1≤b≤2

D．-1＜b＜2

Answer 1

分析：三次函數(shù)f（x）=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3的單調(diào)性，通過其導(dǎo)數(shù)進行研究，故先求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問題．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3
∴f′（x）=x²+2bx+b+2，
∵f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，
∴x²+2bx+b+2≥0恒成立，
∴△≤0，即b²-b-2≤0，
則b的取值是-1≤b≤2．
故選C．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及利用判別式解恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．