Question

已知A，B，C是直線l上的不同的三點(diǎn)，O是直線外一點(diǎn)，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，記y=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

表示出向量

OA

，再由A，B，C三點(diǎn)共線可得到關(guān)系式

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1，整理即可得到答案．
（2）將函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b，然后令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間，即可求得函數(shù)φ（x）的最小值，再根據(jù)在[0，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求出答案．

解答：解：（1）

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A，B，C三點(diǎn)共線，
∴

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1∴y=

3

2

x2+ln(2+3x)
（2）方程f（x）=2x+b即

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b
令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，
∴?′(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x+1)(3x-1)

2+3x

當(dāng)x∈(0，

1

3

)時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

1

3

，1)時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
∴φ（x）有極小值為?(

1

3

)=ln3-

1

2

即為最小值．
又φ（0）=ln2，?(1)=ln5-

1

2

，又ln5-

1

2

-ln2
=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0∴l(xiāng)n5-

1

2

＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有兩個(gè)不同實(shí)根，必須使ln3-

1

2

＜b≤ln2．

點(diǎn)評：本題主要考查向量的三點(diǎn)共線問題和根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的問題．考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．