Question

（理）由曲線y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V₁；滿足x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的點組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V₂，試寫出V₁與V₂的一個關(guān)系式V₁：V₂=

 

．

Answer 1

分析：由于旋轉(zhuǎn)體的體積為V₁由曲線y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體，利用體積的分割法可知V1=π22×4-2×

1

3

π22 ×2=

32π

3

，
而旋轉(zhuǎn)體的體積為V₂x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的點組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體，利用體積分割法可以求得V2=

4

3

π23-2×

4

3

π13=8π，進(jìn)而可得關(guān)系式V₁：V₂．

解答：解：因為旋轉(zhuǎn)體的體積為V₁由曲線y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體，它旋轉(zhuǎn)之后應(yīng)該構(gòu)成的是一個圓柱內(nèi)減去兩個體積全等的圓錐的體積，即：利用體積的分割法可知V1=π22×4-2×

1

3

π22 ×2=

32π

3

，又旋轉(zhuǎn)體的體積為V₂x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的點組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體，它應(yīng)該為一個大的球體減去兩個球半徑一樣的小的球體，即：V2=

4

3

π23-2×

4

3

π13=8π，所以可得關(guān)系式V₁：V₂=4：3．
故答案為：4：3．

點評：此題考查了球體的體積公式，圓柱的體積公式及圓錐的體積公式，還考查了學(xué)生空間的想象能力及計算技能．