討論函數(shù)f（x）=
lim
n→∞
1-
x
2n
 
1+x2n
•x（0≤x＜+∞）的連續(xù)性，并作出函數(shù)圖象．
分析：由題設(shè)條件可知，f（x）=
x          (0≤x＜1)
0         (x=1)
-x       (x＞1).
因?yàn)?span id="u20woac" class="MathJye">
lim
x→1+
f（x）=
lim
x→1+
（-x）=-1，
lim
x→1-
f（x）=
lim
x→1-
x=1，所以
lim
x→1
f（x）不存在．所以f（x）在x=1處不連續(xù)，f（x）在定義域內(nèi)的其余點(diǎn)都連續(xù)．
解答：精英家教網(wǎng)解：當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=
lim
n→∞
1-x2n
1+
x
2n
 
•x=x；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=
lim
n→∞
1-x2n
1+x2n
•x=
lim
n→∞
1
x2n
-1
1
x
2n
 
+1
•x=-x；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=0．
∴f（x）=
x          (0≤x＜1)
0         (x=1)
-x       (x＞1).

∵
lim
x→1+
f（x）=
lim
x→1+
（-x）=-1，
lim
x→1-
f（x）=
lim
x→1-
x=1，
∴
lim
x→1
f（x）不存在．
∴f（x）在x=1處不連續(xù)，f（x）在定義域內(nèi)的其余點(diǎn)都連續(xù)．圖象如圖所示．
點(diǎn)評(píng)：應(yīng)先求出f（x）的解析式，再判斷連續(xù)性．分段函數(shù)討論連續(xù)性，一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限，進(jìn)而判斷連續(xù)性．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=ax-
1x
，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常數(shù)）．
（1）求曲線y=g（x）在點(diǎn)P（1，g（1））處的切線l．
（2）是否存在常數(shù)a，使l也是曲線y=f（x）的一條切線．若存在，求a的值；若不存在，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•朝陽(yáng)區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+
2
a
2
 
x
(a≠0)．
（1）已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）在（1）的條件下，求證：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（x）≥3-x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
(x2-2ax)ex，x＞0
bx，x≤0
，g（x）=clnx+b，且x=
2
是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)b=-2時(shí)，求a的值，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)b∈R時(shí)，函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）是否存在這樣的直線l，同時(shí)滿足：
①l是函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線
②l與函數(shù)y=g（x） 的圖象相切于點(diǎn)P（x0，y0），x0∈[e-1，e]，如果存在，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
12
m(x-1)2-2x+3+lnx．
（Ⅰ）設(shè)m∈R，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）設(shè)m＞0，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線l與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實(shí)數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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