Question

已知f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＞（a-1）x²+（2a+1）x-3a-1對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

（1）原不等式等價(jià)于x²-2ax+2a+1＞0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[-1，1]恒成立，
設(shè)g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1
①當(dāng)a＜-1時(shí)，g_min（x）=g（-1）=1+2a+2a+1＞0，得a∈Φ；
②當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，gmin(x)=g(a)=-a2+2a+1＞0，得-1-

2

＜a≤1；
③當(dāng)a＞1時(shí)，g_min（x）=g（1）=1-2a+2a+1＞0，得a＞1；
綜上a＞1-

2

（3）不等式f（x）＞1即為ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0
因?yàn)閍＜0，所以(x-1)(x+

a+1

a

)＜0，因?yàn)?nbsp;1-(-

a+1

a

)=

2a+1

a

所以當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，1＜-

a+1

a

，解集為{x|1＜x＜-

a+1

a

}；
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，（x-1）²＜0，解集為?；
當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，1＞-

a+1

a

，解集為{x|-

a+1

a

＜x＜1}