函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
成立．
（Ⅰ）求和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)（n∈N*）的值；
（Ⅱ）數(shù)列{an}滿足條件；an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，試證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
分析：（Ⅰ）由f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
成立可令x=
1
n
，則可求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)
（Ⅱ）由an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)可得an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)，利用倒序相加可求an，進(jìn)而可證數(shù)列{an} 是等差數(shù)列．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
成立
∴f(
1
2
)=
1
4
，令x=
1
n
，則有f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=
1
2
，即f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
（Ⅱ）∵an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
∴an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)
兩式相加可得，2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+[f(
2
n
)+f(
n-2
n
)]+… +[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)] +[f(1)+f(0)]=
n+1
2
．
所以數(shù)列{an} 是等差數(shù)列．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用賦值求抽象函數(shù)的函數(shù)值及利用倒序相加求解數(shù)列的和的方法的應(yīng)用，要注意該方法是推倒等差數(shù)列的求和公式的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x≠0時(shí)，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問：在-2≤x≤2時(shí)，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判斷f（x）單調(diào)性并證明；
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．
（3）若函數(shù)g（x）=xf（x）對任意x∈[2，5]時(shí)，g（x）+2x+
3
2
＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若對任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），試證明：
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時(shí)滿足以下條件：
①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②對任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x≠0時(shí)，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問：在-n≤x≤n時(shí)（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

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