Question

（本小題滿分14分）

已知：函數(shù).

(1) 若，且在上的最大值為，最小值為，令，求的表達(dá)式；

(2) 在(1)的條件下，求證：；

（3）設(shè)，證明對(duì)任意的，.

Answer 1

解：（1）∵

由得 ∴.-----------------------2分

當(dāng)，即時(shí)，,故；-----------3分

當(dāng)，即時(shí)，，故.-------------4分

∴-------------------------------------------------5分

（2）∵當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上為減函數(shù)；---------6分

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，-------------7分

∴當(dāng)時(shí)，取最小值，,-------------------------------8分

故.------------------------------------------------------------------9分

（3）∵當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，

∴函數(shù)在上為增函數(shù)，-----------------------------------------------------------10分

（或由得，∴函數(shù)在上為增函數(shù)）

不妨設(shè)，由得

∴

令，----------------------------------12分

∵拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，且

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴對(duì)任意的，

有，即-----------14分