Question

已知函數(shù)f（x）=，其中b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)b＞0．若?x∈[，]，使f（x）≥1，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）①當(dāng)b=0時，f（x）=．
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；無單調(diào)增區(qū)間．
②當(dāng)b＞0時，f′（x）=．
令f′（x）=0，得x₁=，x₂=-．
f（x）和f′（x）的情況如下：

x	（-∞，-）	-	（-，）		（，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-），（，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為（-，）．
③當(dāng)b＜0時，f（x）的定義域?yàn)镈={x∈R|x≠±}．
因?yàn)閒′（x）=＜0在D上恒成立，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-），（-，），（，+∞）；無單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）解：因?yàn)閎＞0，x∈[，]，
所以f（x）≥1等價于b≤-x²+x，其中x∈[，]．
設(shè)g（x）=-x²+x，g（x）在區(qū)間[，]上的最大值為g（）=．
則“?x∈[，]，使得b≤-x²+x”等價于b≤．
所以b的取值范圍是（0，]．
分析：（Ⅰ）分情況討論：①當(dāng)b=0時，②當(dāng)b＞0時，③當(dāng)b＜0時，然后利用導(dǎo)數(shù)即可求得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f（x）≥1等價于b≤-x²+x，g（x）=-x²+x，則“?x∈[，]，使得b≤-x²+x”等價于b小于等于g（x）在區(qū)間[，]上的最大值．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立及函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力．