Question

過(guò)原點(diǎn)O的圓C，與x軸相交于點(diǎn)A（4，0），與y軸相交于點(diǎn)B（0，2）．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過(guò)B點(diǎn)與圓C相切，求直線L的方程，并化為一般式．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓的切線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，則分別代入原點(diǎn)和A（4，0），B（0，2）得到方程組，解出即可得到；
（2）由（1）得到圓心C為（2，1），半徑r=

5

，由于直線l過(guò)B點(diǎn)與圓C相切，則設(shè)直線l：x=0或y=kx+2，分別考慮運(yùn)用直線與圓相切的條件：d=r，解方程即可得到所求直線方程．

解答： 解：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
則分別代入原點(diǎn)和A（4，0），B（0，2）得到，

a2+b2=r2 (4-a)2+b2=r2 a2+(2-b)2=r2

，解得

a=2 b=1 r= 5

，
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+（y-1）²=5；
（2）由（1）得到圓心C為（2，1），半徑r=

5

，
由于直線l過(guò)B點(diǎn)與圓C相切，
則設(shè)直線l：x=0或y=kx+2，
當(dāng)l：x=0時(shí)，C到l的距離為2，不合題意，舍去；
當(dāng)l：y=kx+2，由直線與圓相切，得到d=r，
即有

|2k-1+2|

k2+1

=

5

，解得k=2，
故直線l：y=2x+2，即為2x-y+2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程的求法和直線與圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．