已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的中心為O，右焦點為F、右頂點為A，右準(zhǔn)線與x軸的交點為H，則
|FA|
|OH|
的最大值為
1
4
1
4
．
分析：橢圓屬于解析幾何的版塊，常用解析法處理．所以我們要數(shù)形互化，把問題中的幾何最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值，運用解析法，即“算”的辦法解決．通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，|FA|與|OH|都可以用橢圓中一些基本的參量表示出來，例如，|FA|即為該橢圓右定點與右焦點間的距離，即|FA|=|OA|-|OF|，而|OA|即為橢圓的長半軸長a，|OF|即為橢圓的半焦距長c，∴|FA|=a-c．當(dāng)完成這些工作后，我們只要對得到的表達(dá)式在其可行域內(nèi)求最值即可．
解答：解：依題意得，|FA|即為該橢圓右定點與右焦點間的距離，即|FA|=|OA|-|OF|，
又∵|OA|即為橢圓的長半軸長a，|OF|即為橢圓的半焦距長c，
∴|FA|=a-c．
又∵H為橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點，故|OH|即為橢圓中心到右準(zhǔn)線的距離，依準(zhǔn)線的定義知，|OH|=
a2
c
，則
|FA|
|OH|
=
a-c
a2
c
①
又∵橢圓的離心率e=
c
a
，（0＜e＜1），從而c=ae，代入①，得
|FA|
|OH|
=
a-ae
a2
ae
=e（1-e）=-(e-
1
2
)2+
1
4
（0＜e＜1），
當(dāng)且僅當(dāng)e=
1
2
時
|FA|
|OH|
取得最值
1
4
．
故答案為：
1
4
．
點評：最值問題是高考的熱點之一．常用的方法有構(gòu)建函數(shù)模型法，基本不等式法等．對于一元表達(dá)式，我們采用第一種方法，對于二元的則采用后者．本體看似是二元表達(dá)式，但通過e的代換后發(fā)現(xiàn)，其實際是一元二次函數(shù)，這就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)模型，一切問題也變得簡單起來．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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