解:(1)設g(x)=4x
2-x-b(x≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)
令g′(x)=8x-1=0,可得x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
,
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261074.png)
,∴g(x)在[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,+∞)上單調(diào)增;
g(x)=-2x
2+x-b(x<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)
令g′(x)=-4x+1=0,可得x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
,
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261075.png)
,∴g(x)在(-∞,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
)上單調(diào)增;g(x)在[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)上單調(diào)減;
要使方程f(x)=b恰有三個根,只須g(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
)=-2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
)
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
-b=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
-b>0,∴b<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
g(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)=-2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
-b=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/113.png)
-b<0,∴b>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/113.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261076.png)
;
(2)當m<n≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
時,f(x)在區(qū)間[m,n]上單調(diào)遞增,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/79768.png)
,所以m=n,矛盾;
當m≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
≤n<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
時,n=f(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
,矛盾;
當m≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
≤n時,n≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
>f(m),故f(x)在區(qū)間[m,n]上的最大值在[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,n]上取到
∵f(x)在[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,n]上單調(diào)遞增,∴n=f(n),∴n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261077.png)
,故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261078.png)
,所以f(x)在區(qū)間[m,n]上的最小值在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261079.png)
上取到.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201305/51d617919121a.png)
又f(x)在區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261080.png)
上單調(diào)遞增,故m=f(m),∴m=0
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261081.png)
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261082.png)
時,由x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/92576.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261083.png)
知,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261084.png)
,矛盾.
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261085.png)
時,f(x)在區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/92576.png)
上單調(diào)遞減,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261086.png)
上單調(diào)遞增.故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261087.png)
,矛盾
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261088.png)
時,f(x)在區(qū)間[m,n]上單調(diào)遞增,故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/79768.png)
,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261089.png)
,矛盾.
綜上所述
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261090.png)
,即存在區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1105.png)
滿足條件.
(3)當a>0時,函數(shù)的圖象如右,
要使得函數(shù)f(x)在開區(qū)間(m,n)內(nèi)既有最大值又有最小值,則最小值一定在x=a處取得,最大值在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24567.png)
處取得;
f(a)=a
2,在區(qū)間(-∞,a)內(nèi),函數(shù)值為a
2時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33238.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261091.png)
;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24569.png)
,而在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)函數(shù)值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261092.png)
時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261093.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261094.png)
.…..(12分)
分析:(1)利用絕對值的幾何意義,分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,從而要使方程f(x)=b恰有三個根,只須g(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
)>0,g(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)<0,從而可求實數(shù)b的取值范圍;
(2)分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值,即可求得結論;
(3)要使函數(shù)在(m,n)上既有最大值又有最小值,則最小值在x=a處取得,最大值在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24567.png)
處取得.
點評:本題考查函數(shù)的最值,考查分類討論的數(shù)學思想,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.