Question

已知對任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．

Answer 1

分析：變形得：acosx+bcos2x+1=2bcos²x+acosx+1-b，令cosx=t，t∈[-1，1]，則當(dāng)f（t）=2bt²+at+1-b≥0時，t∈[-1，1]恒成立，分b＞1，0＜b≤1兩種情況討論：b＞1時易判斷不成立；0＜b≤1時可得f（1）≥0，f（-1）≥0，由此可得|a|≤b+1（*），再按照（i）對稱軸t=-

a

4b

∉[-1，1]時，（ii）當(dāng)對稱軸t=-

a

4b

∈[-1，1]兩種情況討論，（i）種情況可分別推得a，b的范圍，從而可求得結(jié)果；（ii）種情況，由|

a

4b

|≤1，△≤0及（*）式可得a²≤8b-8b²成立，故問題轉(zhuǎn)化為a²≤8b-8b²成立的條件下，求a+b的最大值，把條件配方得：

a2

2

+4(b-

1

2

)2≤1，然后利用三角換元可得答案．

解答：解：由題意知：acosx+bcos2x+1
=acosx+b（2cos²x-1）+1
=2bcos²x+acosx+1-b，
令cosx=t，t∈[-1，1]，則當(dāng)f（t）=2bt²+at+1-b≥0時，t∈[-1，1]恒成立，
①當(dāng)b＞1時，f（0）=1-b＜0，不滿足f（t）=2bt²+at+1-b≥0，t∈[-1，1]恒成立；
②當(dāng)0＜b≤1時，則必有

f(1)=a+b+1≥0 f(-1)=b-a+1≥0

⇒

a≥-(b+1) a≤b+1

⇒|a|≤b+1（*），
（i）當(dāng)對稱軸t=-

a

4b

∉[-1，1]時，即|

a

4b

|≥1，也即|a|≥4b時，有4b≤|a|≤b+1，
則b≤

1

3

，則|a|≤b+1≤

4

3

，則a+b≤

5

3

，
當(dāng)a=

4

3

，b=

1

3

時，(a+b)max=

5

3

；
（ii）當(dāng)對稱軸t=-

a

4b

∈[-1，1]時，即|

a

4b

|≤1，也即|a|≤4b時，
則必有△=a²-8b（1-b）≤0，即a²≤8b（1-b）=8b-8b²，
又由（*）知a²≤（b+1）²，
則由于（b+1）²-（8b-8b²）=9b²-6b+1=（3b-1）²≥0，
故只需a²≤8b-8b²成立即可，問題轉(zhuǎn)化為a²≤8b-8b²成立的條件下，求a+b的最大值，
把條件配方得：

a2

2

+4(b-

1

2

)2≤1，
令

a= 2 rcosθ b= 1+rsinθ 2

，（0≤r≤1），
∴a+b=

2

rcosθ+

rsinθ

2

+

1

2

=

3

2

rsin(θ+φ)+

1

2

≤

3r

2

+

1

2

≤2，
∴（a+b）_max=2．
綜上可知（a+b）_max=2．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)、正弦函數(shù)的值域、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及恒成立問題，考查分類討論思想，考查三角換元法求函數(shù)的最值，綜合性強，能力要求高．