Question

已知橢圓C：

x2

16

+

y2

9

=1和點(diǎn)P（1，2），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P并與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)l的傾斜角變化時(shí)，弦中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)弦中點(diǎn)為M（x，y），交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．當(dāng)M與P不重合時(shí)，A、B、M、P四點(diǎn)共線．故（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2）．再由點(diǎn)差法知

2x(x1-x2)

16

=-

2y(y1-y2)

9

，由此可得：9x²+16y²-9x-32y=0．

解答：解：設(shè)弦中點(diǎn)為M（x，y），交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．當(dāng)M與P不重合時(shí)，A、B、M、P四點(diǎn)共線．
∴（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2），①
由

x12

16

+

y12

9

=1，

x22

16

+

y22

9

=1兩式相減得

(x1-x2) (x1+x2)

16

+

(y1-y2)  (y1+y2)

9

=0．
又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴

2x(x1-x2)

16

=-

2y(y1-y2)

9

，②
由①②可得：9x²+16y²-9x-32y=0，③
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，2）適合方程③，
∴弦中點(diǎn)的軌跡方程為：9x²+16y²-9x-32y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，解題時(shí)要注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．